重要なのは、結局、株価変動の枝分かれのスピードだけであり、それがわかれば、最終的に満期日の株価がどのような確率分布になるのか、そのグラフを書くことができます。
ブラックHショールズ式のモデルの場合には、それは「対数正規分布」と呼ばれるものになります。
また、枝分かれのスピード、つまり株価変動の激しさに応じて、その確率分布のボラティリテイ(標準偏差)が決まってきまずから、ボラティリティさえわかればいいことになります。
ブラックHショールズ式をみてください。
複雑そうな数式ですが、コンピューター(あるいは関数電卓)にこの式を入れておき、あとは、①現在の株価、②権利行使価格、③金利、④満期までの期間、⑤ボラティリティの五つのデータがそろえば、計算ができます。
①と②と④はオプションの条件、③の金利は一般的な経済デ－タですから、これらはすぐにわかります。
結局のところ、⑤のボラティリティさえ決めれば、オプション・プレミアムの理論値はたちどころに計算できる、というのがブラックHショールズ式の便利な点なのです。
コール・オプションのプレミアムを計算するコール・オプションとプット・オプションには一定の関係があるために、それを利用すれば、プット・オプションのプレミアムを計算する公式も導けます。
そこで使うコールとプットのオプションの関係とは、現物取引での買いにプット・オプションの買いを組み合わせると、コール・オプションの買いと同じ取引になるという関係です。
そうして導かれるプット・オプションのプレミアム計算式は、ここでは掲載しませんが、コール・オプションのプレミアム計算式とよく似た感じのものです。
やはりボラティリティさえわかれば、プット・オプションのプレミアムの理論値が計算できます。
さて、ブラック・ショールズ式は、一種の方程式を解いて導かれると説明しましたが、正確には、確率微分方程式という超難解な方程式を解いて導出されます。
そのため、ブラック・ショールズ式を「ブラック・ショールズ方程式」と呼ぶ人もいます。
プロ野球などで、そのチームの勝ちパターンとなる選手起用などをか勝利の方程式。
と呼ぶことがありますが、ブラック・ショールズ式についても、これを。
必勝の方程式。
などと書いて紹介する本があります。
この表現は、「ブラックHショールズ式を使ってオプションを取引すれば、リスクがなくなって、絶対に損をしないという公式だ」という意味で使われたりするのですが、ブラックHショールズ式を必勝の方程式などと呼ぶ人は、たぶんブラックHショールズ式の基本的な考え方をまったく理解していないものと思われます。
ブラックHショールズ式の理論通りに売買すれば、絶対に損をしないはずだという意見は、ある意味ではまちがっていないかもしれません。
そういったことをいう人は、たぶん、ブラック日コール・オプションを買う一方で、ショールズ式では、コール・オプションを売る取引のコピーとなる取引を現物取引でおこなうということを方程式にして解いたものだから、それで「理論上はマーケット・リスクが消えている」ということだけを、どこかの本で読んだりして、そのことを強調しているのでしょう。
確かに、ブラックHショールズ式を導くときに考え出されたポートフォリオでは、理論上マーケット・リスクは消えています。
しかしそれは、あるものを買うと同時に、それと理論的に同じものを売っているから、結局売買が相殺されて「何も売買していないのと同じ状況になっている」ということなのです。
現物取引と先物取引を同時におこなうことで、差損も差益もない状態にすることを示しましたが、ブラックHショールズ式のモデルにある取引も同じなのだと、先に説明しました。
理論的には同じものを買うと同時に売り、理論上は何も取引していないのと同じ状態をつくったわけですから、理論通りにいけば、絶対に損はしません。
それはその通りです。
しかし、絶対に利益もありません。
何も買わなかったということなのですから。
ですから、ブラック・ショールズ式が金融取引での必勝の方程式だというのは、競馬が好きな人に対して、競馬の一番の必勝法は「馬券を買わないこと」であると教えるようなものなのです。
私は、基礎理論としてのブラックHショールズ式は非常に優れたもので、金融取引の発展への貢献は非常に大きかったものと評価しています。
しかし、多くの人が、その基本的な考え方もわからないままにブラックHショールズ式を使ったり、あるいは、表面しかみていないマスコミや評論家などが、ブラックＨショールズ式を必勝の方程式として紹介したりすることには、大きな問題があると感じています。
原始演算法との比較それでは、ここでここまで説明してきた二つのオプション・プレミアム計算法、原始演算法とブラックHショールズ式を比較してみましょう。
ブラックHショールズ式は、オプション取引の擬似コピーを現物取引でつくって計算をします。
そこで、原始演算法の五万円刻みの棒グラフを重ねて書き、ブラッルズ式での計算と原始演算法を対比しました。
先に述べましたように、原始演算法で計算しても、刻みの幅と数を工夫すれば、たいていの場合で、かなり精度の高い計算ができます。
ブラック川ショールズ式の計算で使うようなかたちの確率分布を書き、その確率分布をおおまかな刻みの棒グラフで近似して、原始演算法で計算した結果と、ブラックョールズ式での計算結果を比べてみると、先に述べたような刻み幅の設定をすれば、一の誤差、ほとんどの場合で数%の誤差に収まります。
では、○の誤差というのは、重大な誤差なのでしょうか。
もちろん、もしたとえば、誤差が一%未満でないと実用的な計算に使えないというのであれば、原始演算法でも刻み幅をもっと小さくしていけば、それで計算の精度を高めて、誤差を一%未満に収められるでしょう。
しかし、そのような精度の向上は本当に意味のあるものなのでしょうか。
じつは、ブラッショールズ式のモデルで考えられている確率分布のかたちは、現実の株価や円相場などの過去の確率分布とは、少しかたちがちがいます。
ブラッショールズ式のモデルなど、高等数学を駆使する金融工学の理論モデルでは、高等数学を使ってコンピューターで計算するための前提として、正規分布、対数正規分布、二項分布と呼ばれるような確率分布を使って株価の変動を予想します。
しかし、現実の株価や円相場の変動で確率分布を書くと、ブラックHショールズ式のモデルで前提とされているような確率分布とは、明らかにちがったかたちになります。
それはよくわかっているのですが、計算をしやすくするために、同じボラティリテイ(標準偏差)をもつ正規分布や対数正規分布や二項分布で近似して、計算をするのです。
したがって、ブラックHショールズ式などのオプション・プレミアム計算でも、その計算結果は正確ではなく、もともと誤差があります。
オプション・プレミアムを計算するためには、必ず、満期日の株価の予想を示す確率分布を特定しなければなりません。
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